Thèse soutenue le 30 novembre 1998.

Monsieur le Président, Messieurs,

Je dois vous faire un aveu d'ignorance ; il y a quatre ans, le nom de Nicolas de Cues m'évoquait un personnage de la fin du Moyen âge, auteur de La docte ignorance, rien de plus. Je ne pouvais m'imaginer à quel point on peut s'attacher à une personnalité aussi lointaine quand on cherche à comprendre sa pensée à travers ses écrits. Il faut dire que mes sentiments à son égard ont beaucoup évolué au cours de ma recherche.

Je travaillais à ce moment-là sur les rapports entre les textes métaphysiques et les textes mathématiques de Blaise Pascal - notamment à partir du thème des trois ordres et du Traité de la sommation des puissances numériques de 1654 - lorsque je fus frappé par d'étonnantes ressemblances avec La docte ignorance. Dans les deux cas, les mathématiques inspiraient un chemin jalonné d'étapes bien précises vers l'infini ; dans les deux cas, le philosophe soulignait la limite séparant deux ordres de grandeur ; il fallait un saut de l'esprit pour franchir cette limite. C'est pourquoi j'ai choisi, pour mon D.E.A., de chercher si Blaise Pascal avait été un lecteur de Nicolas de Cues. Au cours de ce travail, j'ai pris la mesure de ce qui séparait, en fait, les deux auteurs, et j'ai réalisé comment en deux siècles, l'on était passé du Moyen âge à la modernité, à tel point que, si Blaise Pascal a lu Nicolas de Cues, il ne l'a aucunement suivi.

Pour compléter mon enquête et m'essayer à la recherche historique, je traduisis un premier traité mathématique du Cusain, le De Quadratura circuli de 1450, et je fus saisi par son audace : voilà un philosophe qui n'hésite pas à mettre à l'épreuve un principe philosophique - il s'agit de la coïncidence des opposés - pour en tester la validité dans une science - en l'occurrence, les mathématiques. Je trouvai le défi audacieux et suffisamment rare pour mériter d'être étudié. Je découvris alors, sans en comprendre l'intention métaphysique, sa méthode des isopérimètres : en partant du polygone régulier le plus simple, à savoir le triangle équilatéral, puis en passant aux autres polygones de même périmètre ayant successivement un côté de plus - le carré, le pentagone, l'hexagone, etc. - on compare les rayons des cercles inscrit et circonscrit à chaque figure, et l'on cherche la proportion constante qui règle la diminution de la différence entre ces rayons. En définissant le cercle comme un polygone régulier d'un nombre infini de côtés, Nicolas de Cues croyait pouvoir, grâce à cette méthode, déterminer exactement le rapport entre son rayon et sa circonférence, et construire le carré de même périmètre qu'un cercle donné. Il pensait ainsi résoudre le fameux problème de la quadrature du cercle.

Si je voulais aller plus loin dans cette étude, il me fallait disposer des textes mathématiques de Nicolas de Cues. Or, ces textes n'avaient jamais été traduits, du moins en français. J'ai donc décidé de m'atteler à cette tâche et d'étudier les rapports entre les mathématiques et la métaphysique dans l'oeuvre de Nicolas de Cues. Ce projet de thèse requérait trois étapes : d'abord, traduire les textes mathématiques ; puis, les comprendre ; enfin, les rapporter à la métaphysique cusaine.

Le premier travail - l'établissement des textes latins et leur traduction - fut assez long et monotone, d'autant que, pour éviter de me laisser tromper par la continuité des textes, je les avais découpés en petits paragraphes que je traduisais dans un ordre aléatoire. Ce n'est qu'à la fin que je pus reconstituer le tout. A cette époque, penché de longues heures durant à la Bibliothèque Nationale sur ces textes latins remplis d'abréviations, je me faisais l'effet d'être un moine copiste du XVe siècle, humble travailleur incertain de venir à bout de sa tâche. La rencontre la plus exaltante me fut offerte par la possibilité de travailler directement sur le codex cusanus 219, écrit de la main même de Nicolas de Cues, dans sa bibliothèque conservée à Kues, sur les bords de la Moselle. Je dois dire que j'ai vécu là des moments très émouvants.

Une fois en possession de la traduction des douze oeuvres mathématiques, ma seconde tâche a consisté à essayer de les comprendre d'abord par elles-mêmes. Je fus très déçu. Nicolas de Cues avait échoué dans sa tentative de résolution de la quadrature du cercle, et il ne l'admettait pas. Il me semblait s'engouffrer tête baissée dans tous les pièges, avec la bête obstination de celui qui pense avoir toujours raison. Je ne retrouvais pas le philosophe subtil, fin, voire brillant de La docte ignorance. Collectant une somme de ce qui me semblait n'être que des fautes de raisonnement, je commençai alors une interprétation critique de type positiviste pour montrer comment le dogme théologique pouvait empêcher l'émergence de l'esprit scientifique, comment, par exemple, le dogme de la Trinité conduisait à refuser au un le statut de nombre. Ce qui m'agaçait le plus, c'était de lire dans la lettre de son ami Toscanelli, en 1453, l'indication claire de son erreur ; mais il ne voulait pas la voir ; il poursuivait sa fausse route. Sa lecture d'Archimède, dans la nouvelle traduction de Jacob de Crémone, au lieu de lui faire reconsidérer la difficulté du problème, semblait au contraire l'avoir conforté dans ses prétentions scientifiques. Le contraste était saisissant entre la morale intellectuelle de La docte ignorance, au sens où elle est un appel à l'humilité face au savoir, et cet entêtement à vouloir réussir là où Archimède avait échoué, à vouloir faire mieux que tout le monde en mathématiques.

Puis, le dernier temps de ma recherche, à savoir la reconstitution des liens entre les mathématiques et la métaphysique, m'a progressivement rassuré, m'a fait oublier ma déception, et m'a démontré toute la richesse de cette pensée. D'abord, en cherchant ses sources, je me suis aperçu de l'importance du néoplatonisme, et surtout de Proclus. Il y avait là tout un système hautement élaboré de notions à la fois mathématiques et métaphysiques ; en fait, chaque objet mathématique était déjà un objet métaphysique ; il était pris dans une généalogie qui est aussi une hiérarchie : le point engendre la ligne qui engendre la surface qui engendre le volume. Chaque objet est d'autant plus élevé dans la hiérarchie qu'il se définit négativement, exactement comme les réalités divines dont, selon la théologie négative, on ne peut parler que par des négations. Par exemple, parmi les lignes, la ligne droite n'a ni commencement, ni milieu, ni fin, ni quantité, ni qualité ; la circulaire n'a ni commencement, ni milieu, ni fin, mais a une quantité et est composée ; enfin, la courbe non-circulaire a un commencement, un milieu, une fin, une quantité et est composée. C'est pourquoi Nicolas de Cues ne voulait pas admettre une courbe asymptotique comme solution dans sa méthode des isopérimètres : une telle ligne n'avait pas les privilèges de la droite. Une autre influence déterminante de Proclus réside dans la démarche de résolution : la résolution d'un problème n'est pas simplement une démarche de connaissance ; une résolution est une réduction et une remontée vers un principe ; c'est une réduction au sens de l'abolition progressive d'une opposition ; c'est une remontée vers le principe divin ; à la différence d'aujourd'hui, tout acte de connaissance, à l'époque, est fondé sur une ontologie. Ce que j'appelais des erreurs de Nicolas de Cues, c'était en fait des choix métaphysiques. Par exemple, son assimilation de l'intermédiaire au médian provenait d'une vision théologique de l'ordonnancement divin des choses. Sa définition de l'infini comme un maximum découlait de sa théorie de l'infini théologique. Ressaisis dans son système métaphysique, les travaux du Cusain retrouvaient une cohérence qui n'avait pu m'apparaître à la première lecture de ses textes mathématiques. Rétrospectivement, ma première déception m'apparaissait alors comme le jugement inapproprié de ces historiens des sciences qui comparent les documents uniquement à l'aune du progrès ultérieur, pour y dénicher éventuellement des précurseurs, mais sans aucune exigence de compréhension réelle de la démarche de l'époque. Certes, du point de vue strictement mathématique, les démonstrations de Nicolas de Cues sont fausses. Mais elles ne sont fausses ni par ignorance, ni par entêtement, ni par faiblesse de raisonnement. Elles sont fausses parce que Nicolas de Cues voulait rester cohérent avec lui-même et voulait maintenir l'unité de sa métaphysique.

La révision la plus importante de mon jugement s'est opérée à la relecture de la quadrature du cercle de Juillet 1450.C'est un texte extraordinaire : à première vue, il semble complètement d'un autre âge puisque son auteur prétend montrer comment la quadrature du cercle va nous conduire à Dieu. Pour un peu, on le qualifierait de délire obscurantiste. Puis, si l'on surmonte la difficulté de lecture due à son style laborieux, redondant, embarrassé, on s'aperçoit que Nicolas de Cues connaît parfaitement un des débats les plus compliqués de l'époque, à savoir la définition de l'égalité d'après l'axiome d'Eudoxe. Certes, il tranche ce débat par un coup de force métaphysique en posant une égalité entre deux grandeurs hétérogènes dites " les moins non-proportionnelles ". Mais l'étude de ce texte m'a vraiment fait changer d'avis sur Nicolas de Cues mathématicien. Ce n'était pas un amateur. Bien sàr, il s'est attaqué à un problème qui le dépassait, pour lequel il ne disposait pas des outils nécessaires, et surtout, il ignorait que ce problème était impossible à résoudre. Mais si l'on dépasse la considération des résultats pour s'intéresser à la démarche, on ne peut qu'être admiratif face à l'inventivité de Nicolas de Cues, face à ce que je ne qualifierai plus d'entêtement, mais de persévérance.

A l'heure du bilan, je pense avoir établi, premièrement, que la théorie de l'infini du Cusain apporte une grande nouveauté dans les théories de la connaissance. L'infini n'est pas seulement un concept ; c'est aussi le principe qui permet à la pensée de connaître. Par là, Nicolas de Cues effectue un renversement radical de la pensée antique. Néanmoins, sa célèbre formule d'origine hermétique " la machine du monde [a] son centre partout et sa circonférence nulle part ", n'a pas de signification cosmologique, n'a pas vraiment de rapport avec l'expérience physique, puisqu'il définit l'infini plutôt comme un maximum, une totalité fermée.

En second lieu, sa dialectique d'origine néoplatonicienne change la finalité et la nature des mathématiques ; celles-ci deviennent un terrain où l'on rencontre des objets à la fois mathématiques et métaphysiques, un terrain de vérification de la puissance de l'Un. Ce n'est plus, comme chez Platon, un tremplin pour l'ascension philosophique.

Troisièmement, son projet de mathématiques intellectuelles, fondées sur le principe de la coïncidence des opposés, aboutit à un échec, à une impossibilité. Lorsque, dans le De mathematica perfectione, il a recours à la visio intellectualis, il avoue, malgré lui, qu'il touche à la limite infranchissable de son rêve. Certes, il a infligé à la logique scolastique une belle leçon avec son idée de transmutation des formes ; il a ébranlé le formalisme des catégories et insufflé un nouveau dynamisme à la pensée philosophique. Mais cette idée de transmutation demeure stérile dans la science mathématique et n'aboutit qu'à une spéculation mystique de plus.

L'intérêt philosophique de cette oeuvre se double selon moi d'un intérêt historique, et cet intérêt historique m'incite à poursuivre mes recherches. En effet, il se passe quelque chose d'important dans l'histoire des mathématiques à cette époque. On est en train de définir les concepts élémentaires de la trigonométrie (le sinus, le cosinus, la tangente) qui vont permettre la révolution astronomique du XVIe siècle. On approche la notion de fonction en travaillant sur la proportionnalité, en cherchant des règles de transformation de rapports en d'autres rapports. Mais ce ne sont pas seulement les concepts qui changent, c'est aussi la pratique mathématique qui s'intensifie et se professionnalise en Allemagne et en Italie. On le voit nettement à la lecture du dialogue de Regiomontanus contre Nicolas de Cues. Regiomontanus ignore superbement la discussion métaphysique ; il réagit en pur mathématicien. Quel est donc mon projet ? Partant de cette différence entre Nicolas de Cues et Regiomontanus, je voudrais maintenant chercher comment et pourquoi certains esprits, à la Renaissance, ont clairement rompu avec la métaphysique. Comment se fait-il que certains ont continué de travailler les mathématiques à l'intérieur d'une perspective métaphysique et que d'autres ont décidé de travailler les mathématiques pour elles-mêmes, ou, du moins, en dehors de tout projet métaphysique explicite ? Pour trouver la réponse, je voudrais étudier en amont du Cusain les recherches de Thomas Bradwardine et de Nicole Oresme qui ont essayé d'améliorer la théorie des proportions, tout en poursuivant une réflexion théologique. Puis, je voudrais poursuivre en aval en guettant les ruptures avec la métaphysique. Il me semble qu'à cette période - disons entre 1480 et 1600 - on assiste à un clivage opposant deux sortes de penseurs : ceux qui poursuivent jusqu'à l'absurde le rêve d'un système métaphysique complet incluant la science (on trouvera des auteurs aussi différents que Bovelles, Bruno, Képler), et ceux qui s'efforcent de rompre avec la métaphysique et participent à l'autonomisation de la science (on peut citer Regiomontanus, Léonard de Vinci, Galilée). Je ne sais pas si cette dichotomie est pertinente, mais je voudrais la mettre à l'épreuve des documents mathématiques du XVIe siècle.

Messieurs, accomplissant une démarche déjà bien établie au siècle de Nicolas de Cues, je viens aujourd'hui vous demander de me recevoir parmi les doctes ; cependant, je ne saurais vous dissimuler combien il me reste encore à apprendre sur les mathématiques et la métaphysique médiévales. Je ne puis vous cacher mes ignorances. Aussi, je serai comblé si vous me gratifiez d'une docte ignorance !